Cold Gas Thruster
AnalysisSoğuk Gaz İtici
Sistem Analizi

Starting Point: Three Conservation LawsBaşlangıç Noktası: Üç Korunum Yasası

We begin with a steady, one-dimensional, adiabatic, frictionless (isentropic) flow of a calorically perfect gas. The three pillars are energy conservation along a streamline, the ideal gas equation of state, and the isentropic relation between pressure and density:Kalorik olarak mükemmel bir gazın durağan, tek boyutlu, adyabatik, sürtünmesiz (izentropik) akışıyla başlıyoruz. Üç temel dayanak: bir akış çizgisi boyunca enerji korunumu, ideal gaz hal denklemi ve basınç-yoğunluk arasındaki izentropik bağıntıdır:

Here $h$ is specific enthalpy, $v$ is flow velocity, $h_0$ is stagnation enthalpy (constant for adiabatic flow), $R$ is the specific gas constant, and $\gamma = c_p/c_v$ is the ratio of specific heats.Burada $h$ özgül entalpi, $v$ akış hızı, $h_0$ durma entalpisi (adyabatik akışta sabit), $R$ özgül gaz sabiti ve $\gamma = c_p/c_v$ özgül ısı oranıdır.

Deriving the Temperature RatioSıcaklık Oranının Türetilmesi

For a calorically perfect gas, $h = c_p T$. Substituting into the energy equation:Kalorik olarak mükemmel bir gaz için $h = c_p T$. Bunu enerji denklemine yerleştirerek:

We want to express this in terms of the Mach number $M = v/a$, where the local speed of sound is $a = \sqrt{\gamma R T}$. So $v^2 = M^2 a^2 = M^2 \gamma R T$. Also, for an ideal gas, $c_p = \gamma R / (\gamma - 1)$. Dividing both sides by $c_p T$:Bunu Mach sayısı $M = v/a$ cinsinden ifade etmek istiyoruz; yerel ses hızı $a = \sqrt{\gamma R T}$ olduğundan $v^2 = M^2 \gamma R T$. İdeal gaz için $c_p = \gamma R / (\gamma - 1)$ olduğunu da kullanarak, her iki tarafı $c_p T$'ye bölersek:

The $T$ and $R$ cancel cleanly, leaving:$T$ ve $R$ sadeleşir:

Pressure and Density RatiosBasınç ve Yoğunluk Oranları

For an isentropic process, the relation $P/\rho^\gamma = \text{const}$ combined with $P = \rho R T$ gives $T \propto P^{(\gamma-1)/\gamma}$, which means:İzentropik süreç için $P/\rho^\gamma = \text{sabit}$ bağıntısı ile $P = \rho R T$ birleştirildiğinde $T \propto P^{(\gamma-1)/\gamma}$ elde edilir:

Similarly, from $\rho \propto T^{1/(\gamma-1)}$:Benzer şekilde, $\rho \propto T^{1/(\gamma-1)}$ olduğundan:

Critical Conditions at the Throat (M = 1)Boğazdaki Kritik Koşullar (M = 1)

At the throat of a choked nozzle, $M = 1$. Substituting into the pressure ratio:Boğulmuş bir lülenin boğazında $M = 1$'dir. Basınç oranına yerleştirerek:

The Area–Mach RelationAlan–Mach Bağıntısı

From conservation of mass ($\rho A v = \text{const}$) along a streamtube, combined with the isentropic relations, the ratio of local area $A$ to the critical area $A^*$ depends solely on Mach number:Bir akış borusu boyunca kütlenin korunumundan ($\rho A v = \text{sabit}$) ve izentropik bağıntılardan, yerel alan $A$'nın kritik alana $A^*$ oranı yalnızca Mach sayısına bağlıdır:

Design: From Thrust to GeometryTasarım: İtkiden Geometriye

Given target thrust $F$, chamber pressure $P_0$, ambient pressure $P_a$, and gas temperature $T_0$, the nozzle is sized as follows. First, compute exit Mach from the pressure ratio. Since $P_e = P_a$ for a fully-expanded nozzle:Hedef itki $F$, yanma odası basıncı $P_0$, ortam basıncı $P_a$ ve gaz sıcaklığı $T_0$ verildiğinde lüle şu şekilde boyutlandırılır. Tam genişlemiş bir lüle için $P_e = P_a$ olduğundan:

Then compute $V_e = M_e \sqrt{\gamma R T_e}$ where $T_e = T_0 / (1 + \frac{\gamma-1}{2}M_e^2)$. The mass flow follows from $F = \dot{m} V_e$ (pressure thrust vanishes at full expansion). Throat area from choked mass flow, exit area from area–Mach relation.Sonra $V_e = M_e \sqrt{\gamma R T_e}$ hesaplanır; burada $T_e = T_0 / (1 + \frac{\gamma-1}{2}M_e^2)$. Kütle debisi $F = \dot{m} V_e$'den (tam genişlemede basınç itkisi sıfır) bulunur. Boğaz alanı boğulmuş kütle debisinden, çıkış alanı alan–Mach bağıntısından elde edilir.

ReferencesKaynaklar

1. Anderson, J.D. Modern Compressible Flow with Historical Perspective. McGraw-Hill, 4th Ed., 2020. Ch. 3–5.
2. Sutton, G.P. & Biblarz, O. Rocket Propulsion Elements. Wiley, 9th Ed., 2017. Ch. 3.
3. NASA Glenn Research Center. Isentropic Flow Equations. grc.nasa.gov
4. Shapiro, A.H. The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow. Ronald Press, 1953. Vol. I, Ch. 4.

Mass Conservation at the ThroatBoğazda Kütle Korunumu

The mass flow through any cross-section is $\dot{m} = \rho A v$. At the throat, $M = 1$, so $v^* = a^* = \sqrt{\gamma R T^*}$. We need $\rho^*$ and $T^*$ in terms of stagnation quantities.Herhangi bir kesitteki kütle debisi $\dot{m} = \rho A v$'dir. Boğazda $M = 1$ olduğundan $v^* = a^* = \sqrt{\gamma R T^*}$. $\rho^*$ ve $T^*$'ı durma büyüklükleri cinsinden ifade etmemiz gerekir.

Step 1: Critical TemperatureAdım 1: Kritik Sıcaklık

Setting $M = 1$ in the temperature ratio:Sıcaklık oranında $M = 1$ koyarak:

Step 2: Critical DensityAdım 2: Kritik Yoğunluk

From the isentropic density relation at $M = 1$, and using $\rho_0 = P_0 / (R T_0)$:$M = 1$'deki izentropik yoğunluk bağıntısından ve $\rho_0 = P_0 / (R T_0)$ kullanarak:

Step 3: Critical VelocityAdım 3: Kritik Hız

Step 4: CombiningAdım 4: Birleştirme

Multiply $\rho^* \cdot A^* \cdot a^*$ and collect terms. The power of $\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)$ from $\rho^*$ is $\frac{1}{\gamma-1}$ and from $a^*$ (inside the square root) it contributes $\frac{1}{2}$. Combined: $\frac{1}{\gamma-1} + \frac{1}{2} = \frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}$. Including a discharge coefficient $C_d$ for viscous losses at the throat boundary layer:$\rho^* \cdot A^* \cdot a^*$ çarpımını alıp terimleri düzenleyin. $\rho^*$'dan gelen kuvvet $\frac{1}{\gamma-1}$, $a^*$'dan gelen $\frac{1}{2}$. Birlikte: $\frac{1}{\gamma-1} + \frac{1}{2} = \frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}$. Boğaz sınır tabakasındaki viskoz kayıplar için deşarj katsayısı $C_d$ eklenerek:

ReferencesKaynaklar

1. Anderson, J.D. Modern Compressible Flow. Ch. 3, §3.4 — Quasi-1D Flow.
2. Zucrow, M.J. & Hoffman, J.D. Gas Dynamics. Wiley, 1976. Vol. I, Ch. 4.
3. NASA GRC. Mass Flow Choking. grc.nasa.gov

Control Volume AnalysisKontrol Hacmi Analizi

Apply the steady-state momentum equation to a control volume enclosing the nozzle. The net force on the rocket equals the rate of momentum leaving through the exit plane, plus the net pressure force on the exit area. The incoming momentum from the chamber is negligible because the gas velocity there is very low:Lüleyi çevreleyen bir kontrol hacmine durağan durum momentum denklemi uygulanır. Roket üzerindeki net kuvvet, çıkış düzleminden ayrılan momentumun değişim hızı artı çıkış alanındaki net basınç kuvvetine eşittir. Yanma odasından gelen momentum, oradaki gaz hızının çok düşük olması nedeniyle ihmal edilir:

When fully expanded ($P_e = P_a$), the pressure term vanishes and $F = \dot{m} V_e$. An under-expanded nozzle ($P_e > P_a$) still produces some pressure thrust but wastes energy outside. An over-expanded nozzle ($P_e < P_a$) suffers a penalty.Tam genişlemiş olduğunda ($P_e = P_a$), basınç terimi sıfıra düşer ve $F = \dot{m} V_e$. Az genişlemiş bir lüle ($P_e > P_a$) basınç itkisi üretir ama enerji harcar. Aşırı genişlemiş ($P_e < P_a$) itki kaybına uğrar.

Specific ImpulseÖzgül İmpuls

$I_{sp}$ measures propellant efficiency — thrust per unit weight flow rate:$I_{sp}$ yakıt verimliliğini ölçer — birim ağırlık debisi başına itki:

Exit Velocity from GeometryGeometriden Çıkış Hızı

When the geometry is known ($A^*$, $A_e$), the area ratio determines $M_e$ via area–Mach relation (inverted numerically). Then:Geometri bilindiğinde ($A^*$, $A_e$), alan oranı alan–Mach bağıntısı aracılığıyla $M_e$'yi belirler (sayısal olarak ters çevrilir). Ardından:

ReferencesKaynaklar

1. Sutton & Biblarz. Rocket Propulsion Elements. Ch. 3: Nozzle Theory.
2. Humble, R.W. et al. Space Propulsion Analysis and Design. Ch. 4: Cold Gas.
3. NASA GRC. Nozzle Design

Major Losses: Darcy-WeisbachAna Kayıplar: Darcy-Weisbach

For steady, fully-developed flow in a circular pipe of length $L$ and diameter $D$, a dimensional analysis gives the pressure drop due to wall friction:$L$ uzunluğunda ve $D$ çapında dairesel bir boruda durağan, tam gelişmiş akış için, boyut analizi duvar sürtünmesinden kaynaklanan basınç düşüşünü verir:

Friction Factor: Laminar vs. TurbulentSürtünme Faktörü: Laminar ve Türbülanslı

For laminar flow ($\text{Re} < 2300$): $f = 64/\text{Re}$ (exact, from Hagen-Poiseuille). For turbulent flow, the implicit Colebrook-White equation relates $f$ to Reynolds number and relative roughness $\varepsilon/D$:Laminar akış ($\text{Re} < 2300$): $f = 64/\text{Re}$ (kesin, Hagen-Poiseuille'den). Türbülanslı akış için kapalı Colebrook-White denklemi $f$'yi Reynolds sayısı ve bağıl pürüzlülük $\varepsilon/D$ ile ilişkilendirir:

Minor Losses: K-Factor MethodYerel Kayıplar: K-Faktörü Yöntemi

Each fitting introduces a localized pressure drop from flow separation and secondary flows, modeled with a loss coefficient $K$: $\Delta P = K \cdot \rho v^2/2$. For multiple fittings in series, the total is simply $\sum K_i$. Combining:Her bağlantı elemanı akış ayrılması ve ikincil akışlardan yerelleşmiş basınç düşüşü oluşturur, kayıp katsayısı $K$ ile modellenir: $\Delta P = K \cdot \rho v^2/2$. Seri bağlı elemanlar için toplam $\sum K_i$. Birleştirildiğinde:

Compressibility NoteSıkıştırılabilirlik Notu

Darcy-Weisbach strictly applies to incompressible flow. For gas at moderate pressures, we iterate with average density $\bar{\rho} = \bar{P}/(R T)$. This is valid for Mach $\lesssim 0.3$; above that, use Fanno flow analysis.Darcy-Weisbach kesinlikle sıkıştırılamaz akış içindir. Orta basınçlardaki gaz için ortalama yoğunluk $\bar{\rho} = \bar{P}/(R T)$ ile iterasyon yapıyoruz. Bu Mach $\lesssim 0.3$ için geçerli; üzerinde Fanno akış analizi kullanılmalı.

ReferencesKaynaklar

1. White, F.M. Fluid Mechanics. 8th Ed., 2016. Ch. 6.
2. Colebrook, C.F. "Turbulent Flow in Pipes." J. ICE, 11(4), 1939.
3. Crane Co. Flow of Fluids Through Valves, Fittings, and Pipe. TP-410.
4. Idelchik, I.E. Handbook of Hydraulic Resistance. 4th Ed., 2007.